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  • zu a)
Ur + Ul = U(t)

einsetzen von Ur = R*i, Ul=L*di/dt und U(t)=U0*cos(wt) (mit U0=30 und w=5) ergibt nach division durch L

i' + R/L * i = U0/L * cos(wt)

lösung der homogenen diff-glg ( la....lamda, ih....i(homogen) ):

la + R/L = 0 --> la = -R/L
ih = C * e^¯R/L*t

Lösungsansatz: ip....i(partikulär)

ip  = a * sin(wt) + b * cos(wt)
ip' = a*w*cos(wt) - b*w*sin(wt)

einsetzen in diff-glg:

a*w*cos(wt) - b*w*sin(wt) + R/L * (a * sin(wt) + b * cos(wt)) = U0/L * cos(wt)
a*w*cos(wt) - b*w*sin(wt) + R/L*a*sin(wt) + R/L*b*cos(wt)) = U0/L * cos(wt)
sin(wt) * (R/L*a - b*w) + cos(wt) * ( R/L*b + a*w) =  U0/L * cos(wt)

Koeffizientenvergleich:

I:  R/L*a - b*w = 0
II: R/L*b + a*w = U0/L

Auflösen der Gleichungen und Einsetzen der Werte ergibt:

a = 0.6      (= 3/5)
b = 1.8      (= 9/5)

Allgemeine Lösung der Inhomogenen (mit eingesetzten Werten):

i(t) =  C*e^¯15*t + 0.6 sin(5t) + 1.8 cos(5t)

Einsetzen der Anfangsbedingung ( i(0) = 0 )

0 = C * e^0 + 0 + 1.8 = C + 1.8
C = -1.8

Spezielle Lösung der inhomogenen Diff-glg:

-1.8 * e^¯15*t + 0.6 sin(5t) + 1.8 cos(5t)


--Woife

i kom auf des (t) = 2/25 * (1-e^(-15*t))

  • zu b)

Stationärer Teil ist immer die partikuläre Lösung

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