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Differentialgleichung

q"+1/(LC)*q = U0/L*cos(w*t)

Homogene Lösung mit Hilfe vom Exponentialsatz

C*e^(λx) * (λ^2 + 1/(LC))=0

λ = √(-1/L)/√C = √(-1) / √(L*C) = ι * 1/√(L*C)

qh = C1 * sin(1/√(L*C)*t) + C2 * cos(1/√(L*C)*t)

Partikuläre Lösung mit Lösungsansatz: s(x)=U0/L*cos(w*t)

yp   = a*sin(w*x) + b*cos(w*x)
yp = -a*w^2*sin(w*x) - b*w^2*cos(w*x)

Einsetzen in Differentialgleichung:

-a*w^2*sin(w*x) - b*w^2*cos(w*x) + 1/(LC)*a*sin(w*x) + b*cos(w*x) = U0/L*cos(w*t)
sin(w*t) * (-a*w^2 + 1/(L*C)*a) + cos(w*t) * (-b*w^2 + 1/(L*C)*b) = U0/L*cos(w*t)
  --> a = 0
  --> b = U0/L * 1/(w^2-1/(L*C))

Somit erhalten wir durch Einsetzen von a und b:

qp = U0/L * 1/(w^2-1/(L*C)) * cos(w*t)

Allgemeine Lösung

qa = qh + qp = C1 * sin(1/√(L*C)*t) + C2 * cos(1/√(L*C)*t) + U0/L * 1/(w^2-1/(L*C)) * cos(w*t)

Spezifische Lösung mit Anfangsbedingungen: q(0)=q0; i(0)=q'(0)=0

--> C1 = 0
--> C2 = q0 - U0/L * 1/(w^2-1/(L*C))

q(t) = q0 - U0/L * 1/(w^2-1/(L*C)) * (cos(1/√(L*C)*t) + cos(w*t))