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Aufgabe a) Bearbeiten

DG 1.O inhomogen linear mit konst. Koeffizienten

v'+2v = sin(2t)

Anfangsbedingung

v(0) = 0

Homogene mit Exponentialansatz

C*e^(λ*t)*(λ+2)=0   -->   λ=-2

vh = C*e^(-2*t)

Partikuläre mit Variation der Konstanten

v  = K(x)*e^(-2*t)
v' = K(x)'*e^(-2*t) - 2*K(x)*e^(-2*t)

v' + v = K(x)'*e^(-2*t) - 2*K(x)*e^(-2*t) + K(x)*e^(-2*t) = sin(2t)

K'(x) = sin(2t)*e^(2*t)
K(x)  = 1/4 * e^(2*t) * (sin(2t)-cos(2t))

vp = 1/4 * (sin(2t)-cos(2t))

Allgemeine

va = vh + vp = C*e^(-2*t) + 1/4 * (sin(2t)-cos(2t))

Spezifische mit Anfangsbedingung v(0)=0

TI: C=1/4

v(t) = 1/4 * (sin(2t)-cos(2t)+e^(-2*t))

Aufgabe b) Bearbeiten

Geht die Zeit t gegen unendlich so geht e^(-2*t) gegen 0. Dies ist der sogenannte flüchtige Teil. Daraus folgt der stationäre Teil:

v(t) ~ 1/4 * (sin(2t)-cos(2t)

Aufgabe c) Bearbeiten

v = s'

daher:

s = ∫v = ∫(1/4 * (sin(2t)-cos(2t)+e^(-2*t)))
  = 1/8*( e^(-2t) + sin(2t) + cos(2t) ) + C

Mit Anfangsbedingung s(0)=3/4 erhält man für C=1

s(t) = 1/8 * ( -e^(-2t) + cos(2t) + sin(2t) ) + 1